NURBS（Non Uniform Rational B-spline）曲線通常稱(chēng)為非均勻有理B樣條曲線，其數(shù)學(xué)定義如下：


基函數(shù)由遞推公式定義：


非均勻：指節(jié)點(diǎn)向量的值與間距可以為任意值。這樣我們可以在不同區(qū)間上得到不同的混合函數(shù)形狀，為自由控制曲線形狀提供了更大自由。均勻與非均勻的主要區(qū)別在于節(jié)點(diǎn)向量的值。如果適當(dāng)設(shè)定節(jié)點(diǎn)向量，可以生成一種開(kāi)放均勻樣條，它是均勻與非均勻的交叉部分。開(kāi)放樣條在兩端的節(jié)點(diǎn)值會(huì)重復(fù)d次，其節(jié)點(diǎn)間距是均勻的。例如：
{0,0,1,2,3,3}，（d=2，n=3）
{0,0,0,1,2,2,2}，（d=4,n=4）
開(kāi)放均勻B樣條與貝澤爾樣條性質(zhì)非常類(lèi)似，如果d=n+1（即多項(xiàng)式次數(shù)為n），那么開(kāi)放B樣條就變成了貝澤爾樣條，所有節(jié)點(diǎn)值為0或1。如四個(gè)控制點(diǎn)的三次開(kāi)放B樣條，節(jié)點(diǎn)向量為：{0,0,0,0,1,1,1}。
 有理B樣條：有理函數(shù)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比，有理樣條(rationalspline)是兩個(gè)樣條函數(shù)之比，有理B樣條用向量描述。
URBS曲線由以下三個(gè)參數(shù)定義：
（1） 控制點(diǎn) ：確定曲線的位置，通常不在曲線上，形成控制多邊形。（見(jiàn)圖1,圖中）

       
圖1  控制點(diǎn)移動(dòng)對(duì)曲線的影響

（2） 權(quán)因子：確定控制點(diǎn)的權(quán)值，它相當(dāng)于控制點(diǎn)的“引力”，其值越大曲線就越接近控制點(diǎn)（見(jiàn)圖2，Bi為控制點(diǎn)）。

               
       圖2 曲線隨權(quán)因子變化

（3） 節(jié)點(diǎn)矢量K：NURBS曲線隨著參數(shù)K的變化而變化，與控制頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)化點(diǎn)K稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)的集合Ki：[K0，K1…，Kn…,Kn+m+1]稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)矢量。
節(jié)點(diǎn)：在曲線上任意一點(diǎn)有多于一個(gè)控制點(diǎn)產(chǎn)生影響（除了bezier的端點(diǎn)），節(jié)點(diǎn)就象一種邊界，在這個(gè)邊界上一個(gè)控制點(diǎn)失去影響作用，另一個(gè)控制點(diǎn)取得影響。

2、NURBS曲線怎樣通過(guò)首末節(jié)點(diǎn)
多重節(jié)點(diǎn)序列使得樣條曲線更靠近于重復(fù)節(jié)點(diǎn)位置。如果末端節(jié)點(diǎn)重復(fù)d+1次，則d階B-樣條必須插值*后一個(gè)控制點(diǎn)。因此，解決樣條曲線不能橫跨整個(gè)控制頂點(diǎn)序列的一個(gè)方法是，重復(fù)首尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣得到的樣條曲線將插值首尾兩個(gè)控制點(diǎn)。

對(duì)于非周期的樣條，節(jié)點(diǎn)矢量為

 
即節(jié)點(diǎn)矢量?jī)啥烁饔衜+1個(gè)相同的節(jié)點(diǎn)，以便曲線通過(guò)控制多邊形首、末端點(diǎn)，并與首、末兩邊相切。

（參考系統(tǒng)編程篇§2.7程序示例）

3、NURBS曲線軌跡的矩陣計(jì)算法及矩陣表示
  因NURBS樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)參數(shù)沿參數(shù)軸的分布是不等距的，不同節(jié)點(diǎn)矢量形成的B樣條基函數(shù)各不相同，需要單獨(dú)計(jì)算，且算法中又增加了權(quán)因子，所以曲線軌跡點(diǎn)的計(jì)算較為復(fù)雜、費(fèi)時(shí)，為了提高NURBS曲線插補(bǔ)的實(shí)時(shí)性，在實(shí)時(shí)插補(bǔ)前需進(jìn)行必要的預(yù)處理，其主要任務(wù)是確定NURBS曲線軌跡計(jì)算公式的有關(guān)系數(shù)，以簡(jiǎn)化實(shí)時(shí)插補(bǔ)的計(jì)算量。
  若曲線采用三次NURBS形式表示（三次與K次計(jì)算方法相同，表達(dá)式不同），即K=3， ，則第i段曲線可以寫(xiě)成下列矩陣形式：
 　　

整理可得：
 　　

   由于控制點(diǎn)di及權(quán)因子Wi 均已知，而Mi僅與節(jié)點(diǎn)向量有關(guān)，也是確定的，Ci與Mi、Wi、di有關(guān)，即也是確定的，故式中各項(xiàng)系數(shù)均已知，且與插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)無(wú)關(guān)，可在插補(bǔ)前一次性求出，因式中i的取值為３到n，所以對(duì)整條NURBS曲線，可計(jì)算出的系數(shù)共有n-2組，在插補(bǔ)中根據(jù)插補(bǔ)點(diǎn)所在的位置動(dòng)態(tài)選用相應(yīng)的系數(shù)。

   對(duì)于曲線上坐標(biāo)X、Y、Z分別有：

Nurbs曲線詳解